Volatiliteit is de meest gebruikelijke risicomaatstaf, maar komt in verschillende smaken. In een vorig artikel hebben we laten zien hoe eenvoudige historische volatiliteit kan worden berekend. (Om dit artikel te lezen, zie Volatiliteit gebruiken om toekomstig risico te meten.) In dit artikel zullen we de eenvoudige volatiliteit verbeteren en het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) bespreken.

Historische versus. Impliciete volatiliteit

Laten we eerst deze metriek in een beetje perspectief plaatsen. Er zijn twee brede benaderingen: historische en impliciete (of impliciete) volatiliteit. De historische benadering gaat ervan uit dat het verleden een proloog is; we meten de geschiedenis in de hoop dat het voorspellend is. Impliciete volatiliteit, aan de andere kant, negeert de geschiedenis; het lost de volatiliteit op, geïmpliceerd door de marktprijzen. Hij hoopt dat de markt het beste weet en dat de marktprijs, zelfs impliciet, een consensusschatting van de volatiliteit bevat.

Als we ons concentreren op alleen de drie historische benaderingen (linksboven), hebben ze twee gemeenschappelijke stappen:

1. De reeks periodieke returns berekenen
2. Een wegingsschema toepassen >

Eerst berekenen we het periodieke rendement. Dat is meestal een reeks dagelijkse rendementen waarbij elk rendement wordt uitgedrukt in voortdurend samengestelde voorwaarden. Voor elke dag nemen we de natuurlijke log van de verhouding van de aandelenkoersen (d.w.z. de prijs vandaag gisteren gedeeld door de prijs, enzovoort).

Dit levert een reeks dagelijkse rendementen op, van u

i _{tot u} i-m _{, afhankelijk van het aantal dagen (m = dagen) die we meten.} Dat brengt ons bij de tweede stap: dit is waar de drie benaderingen van verschillen. In het vorige artikel hebben we laten zien dat onder een paar geaccepteerde vereenvoudigingen, de eenvoudige variantie het gemiddelde van de kwadratische returns is:

Merk op dat dit elk van de periodieke returns somt, en dat totaal vervolgens verdeelt door het aantal dagen of observaties (m). Het is dus eigenlijk gewoon een gemiddelde van de gekwadrateerde periodieke returns. Anders gezegd, elke squared return krijgt een gelijk gewicht. Dus als alfa (a) een wegingsfactor is (specifiek, a = 1 / m), ziet een eenvoudige variantie er ongeveer zo uit:

De EWMA verbetert op eenvoudige variant

De zwakte van deze aanpak is dat alles terugkeert hetzelfde gewicht verdienen. De (zeer recente) return van gisteren heeft geen invloed meer op de variantie dan de return van vorige maand. Dit probleem wordt opgelost door het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) te gebruiken, waarbij recentere returns een groter gewicht hebben op de variantie.
Het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) introduceert lambda, de afvlakparameter. Lambda moet minder dan één zijn. Onder die voorwaarde wordt in plaats van gelijke wegingen elk kwadratisch rendement als volgt gewogen door een vermenigvuldigingsfactor:

Bijvoorbeeld, RiskMetrics

TM ^{, _{een financieel risicobeheerbedrijf, heeft de neiging om een ​​lambda van 0.94 of 94%. In dit geval wordt de eerste (meest recente) gekwadrateerde periodieke return gewogen met (1-0, 94) (. 94)}} 0 ^{= 6%. De volgende vierkante terugkeer is eenvoudigweg een lambda-veelvoud van het vorige gewicht; in dit geval 6% vermenigvuldigd met 94% = 5. 64%. En het gewicht van de derde vorige dag is gelijk aan (1-0, 94) (0, 94)} 2 ^{= 5. 30%.} Dat is de betekenis van "exponentieel" in EWMA: elk gewicht is een constante vermenigvuldiger (dat wil zeggen, lambda, die minder dan één moet zijn) van het gewicht van de vorige dag. Dit zorgt voor een variantie die wordt gewogen of vooringenomen in de richting van meer recente gegevens. (Raadpleeg voor meer informatie het Excel-werkblad voor de volatiliteit van Google.) Hieronder ziet u het verschil tussen eenvoudige volatiliteit en EWMA voor Google.

Simpele volatiliteit weegt effectief elk periodiek rendement met 0. 196%, zoals weergegeven in kolom O (we hadden twee jaar dagelijkse aandelenkoersen, dat is 509 dagelijkse rendementen en 1/509 = 0. 196%). Maar let op dat kolom P een gewicht van 6% toekent, vervolgens 5. 64%, dan 5. 3% enzovoort. Dat is het enige verschil tussen eenvoudige variantie en EWMA.

Let op: nadat we de hele reeks hebben samengevat (in kolom Q) hebben we de variantie, dit is het kwadraat van de standaarddeviatie. Als we volatiliteit willen, moeten we onthouden dat we de vierkantswortel van die variantie moeten nemen.

Wat is het verschil in dagelijkse volatiliteit tussen de variantie en EWMA in het geval van Google? Het is significant: de eenvoudige variantie gaf ons een dagelijkse volatiliteit van 2. 4%, maar de EWMA gaf een dagelijkse volatiliteit van slechts 1. 4% (zie de spreadsheet voor meer informatie). Blijkbaar heeft de volatiliteit van Google zich recenter gevestigd; daarom kan een eenvoudige afwijking kunstmatig hoog zijn.

De huidige afwijking is een functie van de afwijking van de vorige dag

U zult merken dat we een lange reeks van exponentieel afnemende gewichten moesten berekenen. We doen hier niet de wiskunde, maar een van de beste kenmerken van de EWMA is dat de hele reeks gemakkelijk wordt gereduceerd tot een recursieve formule:

Maar toch, lambda is onze parameter voor het afvlakken. Een hogere lambda (bijv. 94% van RiskMetric) duidt op langzamer verval in de serie - in relatieve termen zullen we meer gegevenspunten in de reeks hebben en zullen ze langzamer "vallen". Aan de andere kant, als we de lambda verminderen, geven we een hoger verval aan: de gewichten vallen sneller weg en, als direct gevolg van het snelle verval, worden minder gegevenspunten gebruikt. (In de spreadsheet is lambda een invoer, dus je kunt experimenteren met zijn gevoeligheid).

Samenvatting

Volatiliteit is de onmiddellijke standaardafwijking van een aandeel en de meest voorkomende risicometing.Het is ook de vierkantswortel van variantie. We kunnen variantie historisch of impliciet meten (impliciete volatiliteit). Bij het historisch meten is de eenvoudigste methode een eenvoudige variantie. Maar de zwakte met eenvoudige variantie is dat alle returns hetzelfde gewicht krijgen. We worden dus geconfronteerd met een klassieke wisselwerking: we willen altijd meer gegevens, maar hoe meer gegevens we hebben, hoe meer onze berekening wordt verdund door verre (minder relevante) gegevens. Het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) verbetert op basis van eenvoudige variantie door gewichten toe te kennen aan het periodieke rendement. Door dit te doen, kunnen we zowel een grote steekproefomvang gebruiken, maar ook meer gewicht toekennen aan recentere returns.