De waarde van financiële activa varieert dagelijks. Beleggers hebben een indicator nodig om deze bewegingen te kwantificeren die vaak moeilijk te voorspellen zijn. Vraag en aanbod zijn de twee belangrijkste factoren die van invloed zijn op veranderingen in de activaprijzen. In ruil daarvoor weerspiegelen prijsbewegingen een amplitude van schommelingen die de oorzaken zijn van proportionele winsten en verliezen. Vanuit het perspectief van een belegger wordt de onzekerheid rond dergelijke invloeden en fluctuaties risico genoemd.

De prijs van een optie hangt af van het onderliggende vermogen om te bewegen of niet, of met andere woorden, het vermogen om volatiel te zijn. Hoe groter de kans om te verhuizen, hoe duurder de premie dichter bij de vervaldatum zal zijn. Het berekenen van hoe volatiel een onderliggende waarde is, is dus goed om te begrijpen hoe derivaten van die activa worden geprijsd.

I - De variatie van de activa meten

Een manier om de variatie van een actief te meten, is het kwantificeren van het dagelijkse rendement (procentuele beweging op dagelijkse basis) van het actief. Dit brengt ons bij het definiëren en bespreken van het concept van historische volatiliteit.

II - Definitie

Historische volatiliteit is gebaseerd op historische prijzen en geeft de mate van variabiliteit in de rendementen van een actief weer. Dit nummer is zonder een eenheid en uitgedrukt als een percentage. (Zie voor meer: ​​ Wat is vluchtigheid? .)

III - De historische volatiliteit berekenen

Als we P (t) noemen, is de prijs van een financieel actief (deviezen, aandelen) , forex paar, etc.) op tijdstip t en P (t-1) de prijs van het financieel actief op t-1, definiëren we het dagelijkse rendement r (t) van het actief op tijdstip t met:

r (t) = ln (P (t) / P (t-1)) met Ln (x) = natuurlijke logaritmefunctie.

Het totale rendement R op tijdstip t is dus:

R = r1 + r2 + r3 + 2 + … + rt-1 + rt wat gelijk is aan:

R = Ln (P1 / P0) + … Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)

We hebben de volgende gelijkheid:
Ln (a) + Ln (b) = Ln (a * b) > Dit geeft dus:

R = Ln [(P1 / P0 * (P2 / P1) * … (Pt / Pt-1]

R = Ln [(P1. P2 … Pt-1. Pt) / (P0. P1. P2 … Pt-2. Pt-1)]

En na vereenvoudiging krijgen we R = Ln (Pt / P0).

De opbrengst wordt meestal berekend als het verschil van relatieve prijsveranderingen Dit betekent dat als een activum een ​​prijs heeft van P (t) op tijdstip t en P (t + h) op tijdstip t + h> t, r de opbrengst is:

< r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = [P (t + h) / P (t)] - 1

Wanneer de retour r klein is, zoals slechts een paar procent, we hebben:

r ≈ Ln (1 + r)

We kunnen r vervangen door de logaritme van de huidige prijs sinds:

r ≈ Ln (1 + r)

r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] - 1))

r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))

Uit een reeks van afsluitingen prijzen bijvoorbeeld het is voldoende om de logaritme te nemen van de verhouding van twee opeenvolgende prijzen om dagelijkse rendementen r (t) te berekenen.

Zo kan men ook het totale rendement R berekenen door alleen de begin- en eindprijzen te gebruiken.

▪ Geannualiseerde volatiliteit

Om de verschillende volatiliteiten over een periode van een jaar volledig te waarderen, vermenigvuldigen we deze eerder verkregen volatiliteit met een factor die de variabiliteit van de activa voor één jaar verklaart.

Hiervoor gebruiken we de variantie. De variantie is het kwadraat van de afwijking van het gemiddelde van de dagelijkse rendementen gedurende één dag.

Om het kwadratische aantal afwijkingen van het gemiddelde van de dagelijkse rendementen gedurende 365 dagen te berekenen, zullen we de variantie vermenigvuldigen met het aantal dagen (365). De standaarddeviatie op jaarbasis wordt gevonden door de vierkantswortel van het resultaat te nemen:

Variantie = σ²daily = [Σ (r (t)) ² / (n - 1)]

Voor de variantie op jaarbasis, als men ervan uitgaat dat het jaar is 365 dagen, en elke dag heeft dezelfde dagelijkse variantie σ²Daily we krijgen:

Annualized Variance = 365. σ²daily

Annualized Variance = 365. [Σ (r (t)) ² / (n - 1) ]

Ten slotte, aangezien de volatiliteit wordt gedefinieerd als de vierkantswortel van variantie:
Volatiliteit = √ (variantie op jaarbasis)

Volatiliteit = √ (365. Σ²daily)

Volatiliteit = √ (365 [Σ ( r (t)) ² / (n - 1)].)

Simulatie

■ De gegevens

We simuleren van de Excel-functie =

RANDBETWEEN

een aandelenkoers die dagelijks varieert tussen 94 en 104. Resulterend in: ■ Berekenen van dagelijkse rendementen

In de E-kolom voeren we "Ln (P (t) / P (t-1)) in."

■ Bereken de Plein met dagelijkse returns

In de G-kolom voeren we "(Ln (P (t) / P (t-1)) ^ 2 in."

■ Berekening van de dagelijkse afwijking

Om de variantie, we krijgen de som van de verkregen vierkanten en delen door (aantal dagen -1). Dus:

- In de F25-cel krijgen we "= sum (F6: F19)."

- In de F26-cel wordt berekend "= F25 / 18", omdat we 19 -1 gegevenspunten hebben die moeten worden genomen voor deze berekening.

■

Berekenen van de dagelijkse standaarddeviatie

Om de standaarddeviatie dagelijks te berekenen, moeten we de vierkantswortel van de dagelijkse variantie berekenen. Dus: - In de F28 wordt de cel berekend "= Vierkant. Wortel (F26)."

- In de cel G29 wordt F28 als een percentage weergegeven.

■ Berekening van de geannualiseerde variantie

Om de geannualiseerde variantie van de dagelijkse variantie te berekenen, wordt verondersteld dat elke dag dezelfde variantie heeft en we vermenigvuldigen de dagelijkse variantie met 365 met de weekenden inbegrepen. Dus:

- In de F30-cel hebben we "= F26 * 365."

■ Berekening van de standaarddeviatie op jaarbasis

Om de standaardafwijking op jaarbasis te berekenen, hoeven we alleen de vierkantswortel van de geannualiseerde variantie te berekenen . Dus:

- In de F32-cel krijgen we "= ROOT (F30)."

- In de G33-cel wordt F32 als een percentage weergegeven.

Deze vierkantswortel van de geannualiseerde variantie geeft ons de historische volatiliteit.