Het is een hele uitdaging om het eens te worden over de juiste prijsstelling van een verhandelbaar activum, zelfs op de huidige dag. Dat is de reden waarom de aandelenkoersen voortdurend veranderen. In werkelijkheid wijzigt het bedrijf zijn waardering nauwelijks elke dag, maar de aandelenkoers en de waardering veranderen elke seconde. Dit toont aan dat het moeilijk is om een ​​consensus te bereiken over de huidige dagprijs voor verhandelbare activa, wat leidt tot arbitragekansen. Deze arbitragemogelijkheden zijn echter van korte duur.

Het komt allemaal neer op de huidige waardering - wat is vandaag de juiste actuele prijs voor een verwachte toekomstige uitbetaling?

In een concurrerende markt moeten activa met identieke uitbetalingsstructuren dezelfde prijs hebben om arbitragekansen te voorkomen. Waardering van opties was een uitdagende taak en er werden hoge variaties in prijsbepaling waargenomen die leidden tot arbitrage-opportuniteiten. Black-Scholes blijft een van de meest populaire modellen die worden gebruikt voor prijsopties, maar heeft zijn eigen beperkingen. (Zie voor meer informatie: Opties Prijzen ). Binomiaal optieprijsmodel is een andere populaire methode die wordt gebruikt voor prijsopties. Dit artikel bespreekt een aantal veelomvattende stapsgewijze voorbeelden en legt het onderliggende, risico-neutrale concept bij de toepassing van dit model uit. (Zie voor gerelateerde metingen: Het binominale model onderverdelen om een ​​optie te waarderen).

Dit artikel gaat ervan uit dat de gebruiker bekend is met opties en verwante concepten en termen.

Stel dat er een call-optie bestaat voor een bepaalde voorraad waarvan de huidige marktprijs $ 100 is. De ATM-optie heeft een uitoefenprijs van $ 100 met een vervaltijd van een jaar. Er zijn twee handelaars, Peter en Paul, die het er beiden over eens zijn dat de aandelenkoers in een jaar tijd zal stijgen tot $ 110 of zal dalen tot $ 90. Ze zijn het beiden eens over de verwachte prijsniveaus in een bepaald tijdsbestek van een jaar, maar zijn het niet eens over de waarschijnlijkheid van de opgaande beweging (en neerwaartse beweging). Peter is van mening dat de kans dat de aandelenkoers naar $ 110 gaat 60% is, terwijl Paul denkt dat het 40% is.

Op basis van het bovenstaande, wie zou bereid zijn om meer te betalen voor de call-optie?

Misschien Peter, want hij verwacht een hoge waarschijnlijkheid van de opmars.

Laten we de berekeningen bekijken om dit te verifiëren en te begrijpen. De twee activa waarvan de waardering afhankelijk is, zijn de calloptie en de onderliggende aandelen. Er is een overeenkomst tussen deelnemers dat de onderliggende aandelenkoers in een jaar tijd kan evolueren van de huidige $ 100 naar $ 110 of $ 90, en er zijn geen andere prijsbewegingen mogelijk.

In een arbitragevrije wereld, als we een portefeuille moeten maken die uit deze twee activa bestaat (calloptie en onderliggende voorraad), zodat ongeacht het punt waar de onderliggende prijs gaat ($ 110 of $ 90), het netto rendement op de portefeuille altijd blijft hetzelfde.Stel dat we 'd' aandelen kopen van onderliggende en korte calloptie om deze portefeuille te creëren.

Als de prijs naar $ 110 gaat, zijn onze aandelen $ 110 * d en verliezen we $ 10 bij een korte aflossing. De nettowaarde van onze portefeuille zal zijn (110d - 10).

Als de prijs daalt tot $ 90, zullen onze aandelen $ 90 * d zijn en de optie waardeloos verlopen. De nettowaarde van onze portefeuille zal zijn (90d).

Als we willen dat de waarde van onze portefeuille gelijk blijft, ongeacht waar de onderliggende aandelenkoers naar toe gaat, dan moet onze portefeuillewaarde in beide gevallen gelijk blijven, namelijk. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. e. als we een half aandeel kopen (ervan uitgaande dat fractionele aankopen mogelijk zijn), zullen we erin slagen een portefeuille te creëren zodat de waarde ervan in beide mogelijke staten binnen de gegeven tijdspanne van één jaar gelijk blijft. (punt 1)

Deze portfoliowaarde, aangegeven door (90d) of (110d -10) = 45, is een jaar verder. Om de contante waarde te berekenen, kan deze worden gedisconteerd met risicovrij rendement (uitgaande van 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 jaar) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Contante waarde van de portefeuille

Aangezien de portefeuille momenteel bestaat uit een ½ aandeel van de onderliggende aandelen ( met marktprijs $ 100) en 1 korte oproep, moet deze gelijk zijn aan de contante waarde berekend boven i. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * oproepprijs = 42. 85

=> Belprijs = $ 7. 14 i. e. de belprijs vanaf vandaag.

Aangezien dit gebaseerd is op de bovenstaande veronderstelling dat de waarde van de portefeuille hetzelfde blijft ongeacht de manier waarop de onderliggende prijs gaat (punt 1 hierboven), speelt de kans op een verplaatsing of neerwaartse beweging hier geen rol. De portefeuille blijft risicovrij, ongeacht de onderliggende prijsbewegingen.

In beide gevallen (verondersteld stijgende trend te zijn naar $ 110 en omlaag te gaan naar $ 90), is onze portefeuille neutraal ten opzichte van het risico en verdient de risicovrije rentabiliteit.

Vandaar dat zowel de handelaars, Peter en Paul, bereid zijn om dezelfde $ 7 te betalen. 14 voor deze call-optie, ongeacht hun eigen verschillende percepties van de kansen op up-moves (60% en 40%). Hun individueel waargenomen kansen spelen geen rol bij de optiewaardering, zoals blijkt uit het bovenstaande voorbeeld.

Stel dat de individuele kansen van belang zijn, dan zouden er arbitragekansen zijn geweest. In de echte wereld bestaan ​​dergelijke arbitragemogelijkheden met kleine prijsverschillen en verdwijnen ze op korte termijn.

Maar waar zit de veel gehypte volatiliteit in al deze berekeningen, wat een belangrijke (en meest gevoelige) factor is die de prijsstelling van opties beïnvloedt?

De volatiliteit is al opgenomen in de aard van de probleemdefinitie. Vergeet niet dat we twee (en slechts twee - en dus de naam "binomiale") staten van prijsniveaus veronderstellen ($ 110 en $ 90). Volatiliteit is impliciet in deze veronderstelling en wordt daarom automatisch opgenomen - 10% in beide gevallen (in dit voorbeeld).

Laten we nu eens een sanitaire controle uitvoeren om te zien of onze aanpak correct is en consistent is met de veelgebruikte Black-Scholes-prijsstelling. (Zie: Het Black-Scholes-optiewaarderingsmodel ).

Hier zijn de schermafbeeldingen van de resultaten van de optiesrekenmachine (met dank aan OIC), die nauw aansluit bij onze berekende waarde.

Helaas is de echte wereld niet zo eenvoudig als 'slechts twee staten'. Er zijn verschillende prijsniveaus die kunnen worden bereikt door de voorraad tot de tijd tot vervaldatum.

Is het mogelijk om al deze meerdere niveaus op te nemen in ons binomiale prijsmodel dat beperkt is tot slechts twee niveaus? Ja, het is heel goed mogelijk, en om het te begrijpen, laten we in een eenvoudige wiskunde stappen.

Enkele tussenliggende berekeningsstappen worden overgeslagen om de samenvatting samen te vatten en gericht op resultaten.

Om verder te gaan, laten we dit probleem en de oplossing generaliseren:

'X' is de huidige marktprijs van aandelen en 'X * u' en 'X * d' zijn de toekomstige prijzen voor op en neer bewegingen. ' jaren later. Factor 'u' zal groter zijn dan 1 omdat het omhoog bewegen aangeeft en 'd' zal tussen 0 en 1 liggen. Voor het voorbeeld, u = 1. 1 en d = 0. 9.

De uitbetalingen van de call-optie zijn 'P _tot ' en 'P _dn ' voor op en neer bewegingen, op het moment van verstrijken.

Als we een portefeuille met 's'-aandelen die we vandaag hebben gekocht en een korte call-optie bouwen, dan na verloop van tijd' t ':

Waarde van portfolio in geval van up move = s * X * u - P _up

Waarde van de portefeuille in geval van neerwaartse beweging = s * X * d - P _dn

Voor vergelijkbare waardering in beide gevallen van prijsbeweging,

=> s * X * u - P < op _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

op _{- P} dn _{) / (X * (ud )) = het aantal. van de te kopen aandelen voor de risicovrije portefeuille} De toekomstige waarde van de portefeuille aan het einde van 't' jaar zal

zijn In het geval van opgaande beweging = s * X * u - P

oplopend _{= (P} tot _{- P} dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} tot _{De huidige waarde van hierboven kan worden verkregen door te verdisconteren het met een risicovrij rendement:}

Dit moet overeenkomen met de portefeuillewerving van 's'-aandelen tegen X-prijs en de korte call-waarde' c 'i. e. het huidige bezit van (s * X - c) zou gelijk moeten zijn aan het bovenstaande. Oplossen voor c geeft tenslotte c als:

ALS WE DE PRIMIUM VAN DE GESPREK VERKORTEN MOETEN ZIJN TOEGEVOEGD AAN PORTEFEUILLE NIET SUBTRACTIE.

Een andere manier om de bovenstaande vergelijking te schrijven is door deze als volgt te herschikken:

Door q te nemen als

wordt de bovenstaande vergelijking

De volgorde opnieuw rangschikken in termen van 'q' heeft een nieuw perspectief geboden.

"q" kan nu worden geïnterpreteerd als de waarschijnlijkheid van de opgaande beweging van de onderliggende waarde (aangezien "q" is gekoppeld aan P

tot _{en "1-q" is gekoppeld aan P} dn _{). Over het algemeen vertegenwoordigt de bovenstaande vergelijking de huidige optieprijs i. e. de contante waarde van de uitbetaling bij expiratie.} Hoe verschilt deze kans "q" van de waarschijnlijkheid van omhoog of omlaag bewegen van het onderliggende?

De waarde van aandelenkoers op tijdstip t = q * X * u + (1-q) * X * d

Vervanging van de waarde van q en herschikken, de aandelenkoers op tijdstip t komt op

i . e. in deze veronderstelde wereld van twee staten stijgt de prijs van aandelen eenvoudigweg met een risicovrij rendement, i. e. precies zoals een risicovrij actief en daarom blijft het onafhankelijk van enig risico.Alle beleggers staan ​​onverschillig tegenover het risico onder dit model, en dit vormt het risiconeutrale model.

Waarschijnlijkheid "q" en "(1-q)" staan ​​bekend als risico-neutrale kansen en de waarderingsmethode staat bekend als het risico-neutrale waarderingsmodel.

Het bovenstaande voorbeeld heeft één belangrijke vereiste: de toekomstige uitbetalingsstructuur is nauwkeurig vereist (niveau $ 110 en $ 90). In het echte leven is dergelijke duidelijkheid over op stappen gebaseerde prijsniveaus niet mogelijk; eerder beweegt de prijs willekeurig en kan zich vestigen op meerdere niveaus.

Laten we het voorbeeld verder uitbreiden. Neem aan dat prijsniveau's in twee stappen mogelijk zijn. We kennen de laatste stap van de laatste uitbetalingen en we moeten de optie vandaag waarderen (bijv. Bij de eerste stap)

Achterwaarts werken, de tussentijdse eerste stapswaardering (op t = 1) kan worden gemaakt met behulp van de uiteindelijke uitbetalingen in stap twee (t = 2) en vervolgens met behulp van deze berekende eerste stapswaardering (t = 1), kan de huidige waardering (t = 0) worden bereikt met behulp van de bovenstaande berekeningen.

Optieprijzen krijgen bij nee. 2, uitbetalingen op 4 en 5 worden gebruikt. Om prijzen te krijgen voor nee. 3, uitbetalingen op 5 en 6 worden gebruikt. Ten slotte worden berekende uitbetalingen op 2 en 3 gebruikt om de prijs op Nee te krijgen. 1.

Houd er rekening mee dat ons voorbeeld uitgaat van dezelfde factor voor omhoog (en omlaag) verplaatsen in beide stappen - u (en d) worden op gecompileerde wijze toegepast.

Hier is een werkvoorbeeld met berekeningen:

Stel dat een putoptie met uitoefenprijs $ 110 momenteel handelt op $ 100 en vervalt in één jaar. Jaarlijkse risicovrije rente is 5%. Verwacht wordt dat de prijs met 20% zal stijgen en 15% per half jaar zal afnemen.

Laten we het probleem structureren:

Hier, u = 1. 2 en d = 0. 85, X = 100, t = 0. 5

met behulp van bovenstaande afgeleide formule van

, krijgen we q = 0. 35802832

waarde van putoptie op punt 2,

Op P

upup _{conditie, onderliggende waarde is = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144 leidend tot P} upup _{= zero} Bij P

updn _{staat de onderliggende waarde = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 leidend tot P} updn _{= $ 8} Op voorwaarde P

dndn _{is de onderliggende waarde = 100 * 0. 85 * 0. 85 = $ 72. 25 leidend tot P} dndn _{= $ 37. 75} p

2 _{= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 0 + (1-0. 35802832) * 8) = 5. 008970741} Evenzo, p

3 > = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 8 + (1-0 .. 35802832) * 37. 75) = 26. 42958924 _{En dus waarde van putoptie, p} 1

= 0. 975309912 * (0 35802832 * 5. 008970741+ (1-0. 35802832) * 26. 42958924) = _{$ 18. 29.} Op dezelfde manier kunnen binominale modellen de gehele duur van de optie doorbreken naar meer verfijnde meerdere stappen / niveaus. Met behulp van computerprogramma's of spreadsheets kan men stap voor stap achteruit werken om de huidige waarde van de gewenste optie te krijgen. Laten we besluiten met nog een voorbeeld met drie stappen voor binominale optiewaardering:

Stel een putoptie van Europees type, met 9 maanden tot expiratie met uitoefenprijs van $ 12 en huidige onderliggende prijs bij $ 10. Neem een ​​risicovrije rente van 5% voor alle perioden. Veronderstel dat elke 3 maanden de onderliggende prijs 20% hoger of lager kan bewegen, waardoor u u = 1 krijgt. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 en 3-stappen binomiale boom.

De rode cijfers geven onderliggende prijzen aan, terwijl die in het blauw de uitbetaling van de putoptie aangeven.

Risicoselectieve waarschijnlijkheid q berekend tot 0. 531446.

Met behulp van de bovenstaande waarde van q en uitbetalingswaarden op t = 9 maanden, worden de overeenkomstige waarden op t = 6 maanden berekend als:

Verder, met behulp van deze berekende waarden op t = 6, waarden op t = 3 en dan op t = 0 zijn:

geeft de huidige dagwaarde van putoptie als $ 2. 18, dat vrij dicht ligt bij het berekende Black-Scholes-model ($ 2. 3)

The Bottom Line

Hoewel het gebruik van computerprogramma's veel van deze intensieve berekeningen gemakkelijk kan maken, blijft de voorspelling van toekomstige prijzen een belangrijke beperking van binomiale modellen voor optieprijzen. Hoe fijner de tijdsintervallen, hoe moeilijker het wordt om precies de uitbetalingen aan het einde van elke periode te voorspellen. De flexibiliteit om wijzigingen op te nemen naar verwachting in verschillende perioden is echter een pluspunt, waardoor het geschikt is om de Amerikaanse opties te waarderen, inclusief vroege uitoefeningswaarderingen. De waarden die zijn berekend met behulp van het binomiale model komen sterk overeen met die berekend met andere veelgebruikte modellen zoals de Black-Scholes, die het nut en de nauwkeurigheid van binomiale modellen voor optieprijzen aangeeft. Binomiale prijsmodellen kunnen worden ontwikkeld volgens de voorkeur van een handelaar en werken als een alternatief voor Black-Scholes.