Een van de meest gebruikelijke manieren om risico's in te schatten, is het gebruik van een Monte Carlo-simulatie (MCS). Om bijvoorbeeld de Value at Risk (VaR) van een portefeuille te berekenen, kunnen we een Monte Carlo-simulatie uitvoeren die het ergste waarschijnlijke verlies voor een portefeuille probeert te voorspellen met een betrouwbaarheidsinterval over een bepaalde tijdshorizon - we moeten altijd twee voorwaarden voor VaR: vertrouwen en horizon. (Zie voor gerelateerde informatie Gebruik en limieten van volatiliteit en Introductie tot risicovol (VAR) - deel 1 en deel 2 .)

In dit artikel zullen we een standaard MCS bekijken die op een aandelenkoers is toegepast. We hebben een model nodig om het gedrag van de aandelenkoers te specificeren, en we zullen een van de meest voorkomende modellen in financiën gebruiken: geometrische Brownse beweging (GBM). Daarom, terwijl Monte Carlo-simulatie kan verwijzen naar een universum van verschillende benaderingen van simulatie, zullen we hier beginnen met de meest elementaire.

Waar te beginnen Een Monte Carlo-simulatie is een poging om de toekomst vele malen te voorspellen. Aan het einde van de simulatie produceren duizenden of miljoenen "willekeurige proeven" een verdeling van uitkomsten die kunnen worden geanalyseerd. De basisstappen zijn:

1. Geef een model op (bijvoorbeeld geometrische Brownse beweging)
2. Genereer willekeurige proeven
3. Verwerk de uitvoer

1. Specificeer een model (bijv. GBM)
In dit artikel gebruiken we de geometrische Brownse beweging (GBM), die technisch gezien een Markov-proces is. Dit betekent dat de aandelenkoers een willekeurige wandeling volgt en consistent is met (op zijn minst) de zwakke vorm van de efficiënte markthypothese (EMH): informatie over eerdere prijzen is al verwerkt en de volgende prijsbeweging is "voorwaardelijk onafhankelijk" van het verleden prijsbewegingen. (Lees voor meer informatie over EMH Werken via de efficiënte markthypothese en Wat is marktefficiëntie? )

De formule voor GBM wordt hieronder gevonden, waarbij "S" de aandelenkoers is, "m" (de Griekse mu) is het verwachte rendement, "s" (Griekse sigma) is de standaardafwijking van rendement, "t" is tijd, en "e" (Griekse epsilon) is de willekeurige variabele:

Als we de formule opnieuw ordenen alleen voor de verandering in aandelenkoers, zien we dat GMB de verandering in aandelenkoers zegt is de aandelenkoers "S" vermenigvuldigd met de twee termen die tussen de haakjes hieronder staan:

De eerste term is een "afwijking" en de tweede term is een "schok". Voor elke periode gaat ons model ervan uit dat de prijs zal "stijgen" met het verwachte rendement. Maar de drift zal worden geschokt (opgeteld of afgetrokken) door een willekeurige schok. De willekeurige schok is de standaarddeviatie "s" vermenigvuldigd met een willekeurig getal "e". Dit is gewoon een manier om de standaardafwijking te schalen.

Dat is de essentie van GBM, zoals geïllustreerd in figuur 1. De aandelenkoers volgt een reeks stappen, waarbij elke stap een drift plus / minus een willekeurige schok is (zelf een functie van de standaardafwijking van het bestand): > Afbeelding 1

2.Willekeurige proeven genereren

Gewapend met een modelspecificatie, gaan we verder met het uitvoeren van willekeurige proeven. Ter illustratie, we hebben Microsoft Excel gebruikt om 40 trials uit te voeren. Houd in gedachten dat dit een onrealistisch kleine steekproef is; de meeste simulaties of "sims" lopen minstens enkele duizenden trials. Laten we er in dit geval van uitgaan dat de aandelen op dag nul beginnen met een prijs van $ 10. Hier is een grafiek van de uitkomst waarbij elke stap (of interval) één dag is en de reeks tien dagen loopt (samengevat: veertig proeven met dagelijkse stappen over tien dagen):

Figuur 2: Geometrische Brownse beweging > Het resultaat is veertig gesimuleerde aandelenkoersen aan het einde van 10 dagen. Niemand is toevallig onder de $ 9 gevallen en een is boven $ 11.

3. Verwerk de uitvoer

De simulatie produceerde een verdeling van hypothetische toekomstige uitkomsten. We kunnen verschillende dingen doen met de uitvoer. Als we bijvoorbeeld de VaR willen schatten met een betrouwbaarheid van 95%, dan hoeven we alleen de achtendertigste gerangschikte uitkomst te vinden (de derde slechtste uitkomst). Dat komt omdat 2/40 gelijk is aan 5%, dus de slechtste uitkomsten zitten in de laagste 5%.

Als we de geïllustreerde resultaten stapelen in bins (elke bin is een derde van $ 1, dus drie bins dekt het interval van $ 9 tot $ 10), krijgen we het volgende histogram: Figuur 3

Remember dat ons GBM-model normaliteit aanneemt: prijsopbrengsten worden normaal verdeeld met verwacht rendement (gemiddeld) "m" en standaarddeviatie "s". Interessant is dat ons histogram er niet normaal uitziet. In feite zal het met meer beproevingen niet neigen naar normaliteit. In plaats daarvan neigt het naar een lognormale verdeling: een scherpe drop-off links van gemiddelde en een zeer scheve "lange staart" rechts van het gemiddelde. Dit leidt vaak tot een potentieel verwarrende dynamiek voor beginnende studenten:

Prijs

rendement

• wordt normaal verdeeld. Prijs niveaus
• zijn log-normaal verdeeld. Denk er als volgt over na: een aandeel kan 5% of 10% stijgen of dalen, maar na een bepaalde periode kan de aandelenkoers niet negatief zijn. Verder hebben koersstijgingen aan de bovenkant een samenstellend effect, terwijl prijsdalingen aan de onderkant de basis verlagen: verlies 10% en je blijft achter met minder te verliezen de volgende keer. Hier is een grafiek van de lognormale verdeling gesuperponeerd op onze geïllustreerde aannames (bijv. Startprijs van $ 10): Figuur 4

Samenvatting

Een Monte Carlo-simulatie past een geselecteerd model toe (een model dat het gedrag van een instrument) voor een groot aantal willekeurige proeven in een poging een plausibele set van mogelijke toekomstige uitkomsten te produceren. Wat betreft het simuleren van aandelenkoersen, is het meest voorkomende model geometrische Brownse beweging (GBM). GBM gaat ervan uit dat een constante drift gepaard gaat met willekeurige schokken. Terwijl de retourperiode onder GBM normaal wordt verdeeld, zijn de daaruit voortvloeiende prijsniveaus voor meerdere perioden (bijvoorbeeld tien dagen) lognormaal verdeeld.

Bekijk de video-tutorial van David Harper, Monte Carlo-simulatie met Geometric Brownian Motion

, voor meer informatie over dit onderwerp.