De normale gegevensverzameling (Bell Curve)

(zoals de hoogte van 100 mensen, cijfers verkregen door 45 leerlingen in een klas enz.) Hebben vaak veel waarden op hetzelfde gegevenspunt of binnen hetzelfde bereik. Deze verdeling van gegevenspunten wordt de normale of belkromme-verdeling genoemd. Bijvoorbeeld, in een groep van 100 individuen, kan 10 onder 5 voet lang zijn, 65 kan tussen 5 en 5 voet staan ​​en 25 kan boven 5 voet zijn. Deze bereikgebonden verdeling kan als volgt worden geplot:

Evenzo kunnen datapunten in grafieken voor een bepaalde dataset worden weergegeven als verschillende soorten distributies. Drie van de meest voorkomende zijn links uitgelijnde, rechts uitgelijnde en door elkaar gegooide distributies:

Let op de rode trendlijn in elk van deze grafieken. Dit geeft ruwweg de trend van de gegevensverdeling aan. De eerste, "LEFT Aligned Distribution", geeft aan dat een meerderheid van de gegevenspunten in het lagere bereik valt. In de tweede grafiek "RIGHT Aligned Distribution" valt het grootste deel van de datapunten aan de bovenkant van het bereik, terwijl de laatste "Jumbled Distribution" een gemengde dataset is zonder duidelijke trend.

Er zijn veel gevallen waarin de distributie van datapunten de neiging heeft om een ​​centrale waarde te hebben, en die grafiek toont een perfecte normale verdeling, even evenwichtig aan beide kanten met het hoogste aantal datapunten geconcentreerd in het midden.

Dit is een perfecte, normaal verdeelde dataset.

De centrale waarde hier is 50, die het meeste aantal gegevenspunten heeft, en de verdeling loopt gelijkmatig af naar extreme eindwaarden van 0 en 100, die het minste aantal gegevenspunten hebben. De normale verdeling is symmetrisch rond de centrale waarde met de helft van de waarden aan elke kant.

Veel real-life voorbeelden passen in de belkrommeverdeling:

• Werp vele malen een eerlijke munt (zeg 100 keer of meer) en u krijgt een evenwichtige normale verdeling van kop en munt.
• Draai een aantal eerlijke dobbelstenen vele malen (zeg 100 keer of meer) en het resultaat is een uitgebalanceerde, normale verdeling rond het cijfer 7 en gelijkmatig toelopend naar extreme-eindwaarden van 2 en 12.
• hoogte van individuen in een groep van aanzienlijke omvang en cijfers verkregen door mensen in een klasse volgen beide normale verspreidingspatronen.
• In financiën worden wijzigingen in de logboekwaardenvan forexpercentages, prijsindexcijfers en aandelenkoersen verondersteld normaal verdeeld te zijn.

Het verband met financiën en beleggingen

Elke investering heeft twee aspecten: risico en rendement. Beleggers zoeken naar het laagst mogelijke risico voor het hoogst mogelijke rendement. De normale verdeling kwantificeert deze twee aspecten met het gemiddelde voor het rendement en de standaarddeviatie voor risico.(Zie voor meer informatie: Gemiddelde-variantie-analyse .)

Gemiddelde of verwachte waarde

Een verandering van het gemiddelde prijsgemiddelde van een aandeel zou dagelijks 1,5% kunnen zijn - wat betekent dat het gemiddeld met 1,5% stijgt. Deze gemiddelde waarde of verwachte waarde van de betekenisvolle terugkeer kan worden bereikt door het gemiddelde te berekenen op een voldoende grote gegevensreeks met historische dagelijkse koerswijzigingen van dat aandeel. Hoe hoger het gemiddelde, hoe beter.

Standaardafwijking

Standaardafwijking geeft de hoeveelheid aan waarmee waarden gemiddeld afwijken van het gemiddelde. Hoe hoger de standaardafwijking, des te risicovoller de investering, aangezien dit leidt tot meer onzekerheid.

Hier volgt een grafische weergave van:

Vandaar dat de grafische weergave van de normale verdeling via het gemiddelde en de standaardafwijking de weergave van zowel retouren als risico binnen een duidelijk gedefinieerd bereik mogelijk maakt.

Het helpt om te weten (en er zeker van te zijn) dat als sommige gegevensreeksen het normale verspreidingspatroon volgen, het gemiddelde ons in staat zal stellen te weten wat terugkeert naar verwachting, en de standaarddeviatie stelt ons in staat om te weten dat ongeveer 68% van de de waarden liggen binnen 1 standaardafwijking, 95% binnen 2 standaardafwijkingen en 99% van de waarden valt binnen 3 standaardafwijkingen. Een gegevensset met een gemiddelde van 1,5 en een standaardafwijking van 1 is veel risicovoller dan een andere gegevensset met een gemiddelde van 1,5 en een standaardafwijking van 0. 1.

Deze waarden kennen voor elk geselecteerd activum (dwz aandelen, obligaties en fondsen) zal een belegger bewust maken van de verwachte rendementen en risico's.

Het is gemakkelijk om dit concept toe te passen en het risico en rendement op één enkele voorraad, obligatie of fonds te vertegenwoordigen, maar kan dit worden uitgebreid naar een portefeuille van meerdere activa?

Personen beginnen te handelen door een enkele voorraad of obligatie te kopen, of door te beleggen in een beleggingsfonds. Geleidelijk aan hebben ze de neiging om hun posities te vergroten en meerdere aandelen, fondsen of andere activa te kopen, waardoor een portefeuille ontstaat. In dit incrementele scenario bouwen individuen hun portefeuilles op zonder een strategie of veel voorbedachtheid. Professionele fondsbeheerders, handelaars en market-makers volgen een systematische methode om hun portfolio te bouwen met behulp van een wiskundige benadering, de moderne portefeuilletheorie (MPT), die is gebaseerd op het concept van "normale distributie". "

Moderne Portefeuilletheorie

Moderne portefeuilletheorie biedt een systematische wiskundige benadering die tot doel heeft het verwachte rendement van een portefeuille voor een bepaalde hoeveelheid portefeuillerisico te maximaliseren door de verhoudingen van verschillende activa te selecteren. Als alternatief biedt het ook om het risico voor een gegeven niveau van verwacht rendement te minimaliseren.

Om dit doel te bereiken, mogen de in de portefeuille op te nemen activa niet uitsluitend op basis van hun eigen individuele waarde worden geselecteerd, maar in plaats daarvan op hoe elk activum zal presteren ten opzichte van de andere activa in de portefeuille.

Kortom, MPT definieert hoe de diversificatie van de portefeuille het beste kan worden bereikt voor de best mogelijke resultaten: maximaal rendement voor een aanvaardbaar risiconiveau of minimaal risico voor een gewenst rendementsniveau.

De bouwstenen

De MPT was zo'n revolutionair concept toen werd voorgesteld dat de uitvinders een Nobelprijs wonnen. Deze theorie leverde met succes een wiskundige formule op die richting gaf aan diversificatie in beleggen.

Diversificatie is een techniek voor risicobeheer die het risico van "alle eieren in één mand" wegneemt door te beleggen in niet-gecorreleerde aandelen, sectoren of activaklassen. Idealiter zullen positieve prestaties van één actief in de portefeuille de negatieve prestaties van andere activa annuleren.

Om het gemiddelde rendement van de portefeuille met n verschillende activa te nemen, wordt de naar verhouding gewogen combinatie van de rendementen van de samenstellende activa berekend. Vanwege de aard van statistische berekeningen en normale verdeling, wordt het totale portfolio-rendement (R _p ) berekend als:

de som (Σ) waarbij w _i evenredig is aan asset i in de portefeuille, R _i is het rendement (gemiddelde) van activum i.

Het portefeuillerisico (of standaardafwijking) is een functie van de correlaties van de inbegrepen activa, voor alle activaparen (ten opzichte van elkaar in het paar). Vanwege de aard van statistische berekeningen en normale verdeling, wordt het totale portefeuillerisico (Std-dev) _p berekend als:

waarbij cor-cof de correlatiecoëfficiënt is tussen rendementen van activa i en j, en sqrt is de vierkantswortel.

Dit zorgt voor de relatieve prestaties van elk actief ten opzichte van het andere.

Hoewel het hier wiskundig ingewikkeld lijkt, omvat het eenvoudige concept dat hier wordt toegepast niet alleen de standaardafwijkingen van afzonderlijke activa, maar ook de gerelateerde afwijkingen ten opzichte van elkaar.

Een goed voorbeeld is hier beschikbaar van de Universiteit van Washington.

Een snel voorbeeld

Laten we ons als gedachte-experiment voorstellen dat we een portefeuillemanager zijn die kapitaal heeft gekregen en die belast is met hoeveel kapitaal moet worden toegewezen aan twee beschikbare activa (A & B), zodat de verwachte rendement is maximaal en risico is het laagst.

We hebben ook de volgende waarden beschikbaar:

R _a = 0. 175

R _b = 0. 055

(Std-dev) < a _{= 0. 258} (standaard-dev)

b _{= 0. 115} (standaard-dev)

ab _{= -0. 004875} (Cor-cof)

ab _{= -0. 164} Beginnend met een gelijke 50-50 toewijzing aan elke asset A & B, berekent de R

p _{naar 0. 115 en (Std-dev)} p _{komt naar 0. 1323 Een eenvoudige vergelijking leert ons dat voor deze 2 activaportefeuille rendement evenals risico halverwege tussen individuele waarden van elk actief is.} Ons doel is echter om het rendement van de portefeuille te verbeteren boven het gemiddelde van een van beide individuele activa en het risico te verlagen zodat het lager is dan dat van de individuele activa.

Laten we nu een positie van 1. 5 kapitaaltoewijzing nemen in item A en een -0. 5 kapitaaltoewijzingspositie in actief B. (Negatieve kapitaaltoewijzing betekent shorting van de voorraad en het ontvangen kapitaal gebruikt om het overschot van andere activa te kopen met een positieve kapitaalallocatie. Met andere woorden, we kondigen voorraad B aan voor 0.5 keer kapitaal en gebruik dat geld om aandelen A te kopen voor bedrag 1. 5 keer kapitaal.)

Met deze waarden krijgen we R

p _{als 0. 1604 en (Std-dev) < p} als 0. 4005. _{Evenzo kunnen we verschillende allocatiegewichten blijven gebruiken voor activa A en B, en komen we uit op verschillende sets Rp en (Std-dev) p. Afhankelijk van het gewenste rendement (Rp), kan men het beste aanvaardbare risiconiveau kiezen (standaard-dev) p. Als alternatief kan voor een gewenst risiconiveau het best beschikbare portfolio-rendement worden geselecteerd. Hoe dan ook, door middel van dit wiskundige model van Portfolio Theorie, is het mogelijk om te voldoen aan de doelstelling om een ​​efficiënte portefeuille te creëren met de gewenste combinatie van risico en rendement.} Door het gebruik van geautomatiseerde hulpmiddelen kunt u eenvoudig en probleemloos de best mogelijke toegewezen verhoudingen detecteren, zonder dat u daarvoor uitgebreide handmatige berekeningen hoeft uit te voeren.

Het efficiënte frontier, Capital Asset Pricing Model (CAPM) en activaprijzen met behulp van MPT evolueren ook vanuit hetzelfde normale distributiemodel en zijn een uitbreiding op MPT.

De uitdagingen voor MPT (en onderliggende normale distributie):

Helaas is geen enkel wiskundig model perfect en heeft elk onvolkomenheden en beperkingen.

De basisveronderstelling dat de aandelenkoers terugkeert volgens de normale distributie zelf, wordt keer op keer ter discussie gesteld. Er is voldoende empirisch bewijs van gevallen waarin waarden niet voldoen aan de veronderstelde normale verdeling. Het baseren van complexe modellen op dergelijke aannames kan leiden tot resultaten met grote afwijkingen.

Verderop in MPT, hoeven de berekeningen en veronderstellingen over correlatiecoëfficiënt en covariantie die vast zijn gebleven (op basis van historische gegevens) niet noodzakelijk te gelden voor toekomstige verwachte waarden. De obligatie- en aandelenmarkten vertoonden bijvoorbeeld een perfecte correlatie op de Britse markt in de periode 2001 tot 2004, toen het rendement van beide activa tegelijkertijd daalde. In werkelijkheid is het omgekeerde waargenomen gedurende lange historische perioden vóór 2001.

Het gedrag van beleggers wordt niet in aanmerking genomen in dit wiskundige model. Belastingen en transactiekosten worden verwaarloosd, ook al wordt een fractionele kapitaaltoewijzing en de mogelijkheid om activa te shorten verondersteld.

In werkelijkheid kan geen van deze veronderstellingen gelden, wat betekent dat gerealiseerde financiële rendementen aanzienlijk kunnen verschillen van verwachte winsten.

De onderste regel:

Wiskundige modellen bieden een goed mechanisme voor het kwantificeren van sommige variabelen met enkele, volgbare getallen. Maar vanwege de beperkingen van aannames kunnen modellen mislukken. Normale verdeling, die de basis vormt voor de Portefeuilletheorie, hoeft niet noodzakelijk van toepassing te zijn op aandelen en andere financiële prijspatronen van activa. Portfolio Theory heeft op zichzelf veel aannames die kritisch moeten worden onderzocht voordat belangrijke financiële beslissingen worden genomen.