In de financiële wereld zijn de Black-Scholes en de binomiale optiemodellen van waardering twee van de belangrijkste concepten in de moderne financiële theorie. Beide worden gebruikt om een ​​optie te waarderen, en elk heeft zijn eigen voor- en nadelen.

Enkele van de basisvoordelen van het gebruik van het binomiale model zijn:

• meervoudige weergave
• transparantie
• mogelijkheid om kansen

In dit artikel zullen we de voordelen verkennen van het gebruik van het binomiale model in plaats van de Black-Scholes, enkele basisstappen geven om het model te ontwikkelen en uitleggen hoe het wordt gebruikt.

Weergave met meerdere perioden
Het binomiale model biedt een meerperiodenoverzicht van de onderliggende activaprijs en de prijs van de optie. In tegenstelling tot het Black-Scholes-model, dat een numeriek resultaat op basis van invoer biedt, biedt het binomiale model de mogelijkheid om het activum en de optie voor meerdere perioden samen met het bereik van mogelijke resultaten voor elke periode te berekenen (zie hieronder).

Het voordeel van deze multi-periodeweergave is dat de gebruiker de verandering in de activaprijs van periode tot periode kan visualiseren en de optie kan evalueren op basis van het nemen van beslissingen op verschillende tijdstippen. Voor een Amerikaanse optie, die op elk moment vóór de vervaldatum kan worden uitgeoefend, kan het binomiale model inzicht geven in wanneer het uitoefenen van de optie er aantrekkelijk kan uitzien en wanneer het voor langere tijd moet worden aangehouden. Door naar de binomiale waardestam te kijken, kan men van tevoren bepalen wanneer een beslissing over oefening kan plaatsvinden. Als de optie een positieve waarde heeft, is er de mogelijkheid om te oefenen, terwijl als deze een waarde heeft die kleiner is dan nul, hij langer moet blijven.

Transparantie
Nauw gerelateerd aan de multi-periodebeoordeling is het vermogen van het binomiale model om transparantie te bieden in de onderliggende waarde van het activum en de optie naarmate deze voortschrijdt in de tijd. Het Black-Scholes-model heeft vijf ingangen:

1. Risicovrije rente
2. Uitoefenprijs
3. Actuele prijs van activum
4. Time to maturity
5. Impliciete volatiliteit van de activaprijs

Wanneer deze gegevenspunten worden ingevoerd in een Black-Scholes-model, berekent het model een waarde voor de optie, maar de impact van deze factoren wordt niet bekendgemaakt op basis van de periode tot periode. Met het binomiale model kan men de verandering in de onderliggende activaprijs van periode tot periode zien en de bijbehorende verandering in de optieprijs.

Kansen opnemen
De basismethode voor het berekenen van het binomiale optiemodel is om elke kans op succes en falen te gebruiken tot de vervaldatum van de optie. Er kan echter feitelijk verschillende kansen voor elke periode worden opgenomen op basis van nieuwe informatie die wordt verkregen naarmate de tijd verstrijkt.

Er is bijvoorbeeld een 50/50 kans dat de prijs van de onderliggende waarde in één periode met 30% kan stijgen of dalen.Voor de tweede periode kan de kans echter groter worden dat de onderliggende activaprijs stijgt tot 70/30. Laten we zeggen dat we een oliebron evalueren; we weten niet zeker wat de waarde van die oliebron is, maar er is een 50/50 kans dat de prijs omhoog gaat. Als de olieprijzen in periode 1 stijgen, waardoor de olie meer waardevol wordt en de marktfundamenten nu wijzen op aanhoudende stijgingen van de olieprijzen, kan de kans op een verdere appreciatie van de prijs nu oplopen tot 70%. Het binomiale model maakt deze flexibiliteit mogelijk; het Black-Scholes-model doet dat niet.

Het model ontwikkelen
Het eenvoudigste binomiale model heeft twee verwachte resultaten, waarvan de kansen tot 100% optellen. In ons voorbeeld zijn er op elk moment in de tijd twee mogelijke uitkomsten voor de oliebron. Een meer complexe versie kan drie of meer verschillende uitkomsten hebben, die elk een waarschijnlijkheid van voorkomen krijgen.

Om de rendementen per periode vanaf tijdstip nul (nu) te berekenen, moeten we de waarde van de onderliggende waarde één periode vanaf nu bepalen. In dit voorbeeld gaan we uit van het volgende:

• Prijs van onderliggende waarde (P): $ 500
• Oproepoptie uitoefenprijs (K): $ 600
• Risicovrije rente voor de periode: 1%
• Prijswijziging per periode: 30% hoger of lager

De prijs van het onderliggende actief is $ 500 en in periode 1 kan het $ 650 of $ 350 waard zijn. Dat zou het equivalent zijn van een stijging of daling van 30% in één periode. Aangezien de uitoefenprijs van de call-opties die wij aanhouden $ 600 is, is de waarde van de call-optie nul wanneer de onderliggende waarde minder dan $ 600 bedraagt. Als de onderliggende waarde echter de uitoefenprijs van $ 600 overschrijdt, is de waarde van de call-optie het verschil tussen de prijs van de onderliggende waarde en de uitoefenprijs. De formule voor deze berekening is [max (P-K), 0].

Stel dat er een kans van 50% is om omhoog te gaan en een kans van 50% om naar beneden te gaan. Met behulp van de Periode 1-waarden als een voorbeeld, berekent dit uit als [max ($ 650-600, 0) * 50%] + [max (350-600, 0) * 50%] = 50 * 50% + 0 * 50% = $ 25. Om de huidige waarde van de call-optie te krijgen, moeten we de $ 25 in periode 1 terugstorten naar periode 0, wat $ 25 / (1 + 1%) = $ 24 is. 75. U kunt nu zien dat als de kansen worden gewijzigd, de verwachte waarde van de onderliggende waarde ook zal veranderen. Als de waarschijnlijkheid moet worden gewijzigd, kan deze ook voor elke volgende periode worden gewijzigd en hoeft deze niet per se dezelfde te blijven.

Het binomiale model kan eenvoudig worden uitgebreid naar meerdere perioden. Hoewel het Black-Scholes-model het resultaat van een verlengde vervaldatum kan berekenen, breidt het binomiale model de beslissingspunten uit naar meerdere perioden.

Gebruik voor het binomiale model
Naast het feit dat het wordt gebruikt voor het berekenen van de waarde van een optie, kan het binomiale model ook worden gebruikt voor projecten of investeringen met een hoge mate van onzekerheid, kapitaalbudgeting en beslissingen over resourcetoewijzing, zoals en projecten met meerdere perioden of een ingesloten optie om op bepaalde tijdstippen door te gaan of te verlaten.

Een eenvoudig voorbeeld is een project dat boren naar olie inhoudt. De onzekerheid van dit soort projecten is het gevolg van het gebrek aan transparantie over de vraag of het geboorde land in het geheel geen olie bevat, de hoeveelheid olie die kan worden geboord, of olie wordt gevonden en de prijs waartegen de olie eenmaal kan worden verkocht uitgepakt.

Het binomiale optiemodel kan helpen bij het nemen van beslissingen op elk punt van het olieboringproject. Neem bijvoorbeeld aan dat we besluiten te boren, maar de oliebron zal alleen winstgevend zijn als we genoeg olie vinden en de prijs van olie een bepaald bedrag overschrijdt. Het duurt één volledige periode om te bepalen hoeveel olie we op dat moment kunnen winnen en wat de prijs van olie is. Na de eerste periode (bijvoorbeeld een jaar), kunnen we op basis van deze twee gegevenspunten beslissen of het project moet worden doorgeboord of afgebroken. Deze beslissingen kunnen continu worden genomen totdat een punt is bereikt waar er geen waarde is voor het boren, op welk moment de put wordt verlaten.

De onderste regel
Het binomiale model biedt meerdere perioden weergaven van de onderliggende activaprijs en de prijs van de optie voor meerdere perioden, evenals het bereik van mogelijke resultaten voor elke periode, met een gedetailleerder overzicht. Hoewel zowel het Black-Scholes-model als het binomiale model kunnen worden gebruikt om opties te waarderen, heeft het binomiale model eenvoudigweg een breder scala aan toepassingen, is het intuïtiever en is het gemakkelijker te gebruiken.