In het eerste geval (rode grafiek) wordt theoretisch de nulprijs ontvangen door de verkoper en is er geen potentieel voor de koper (eerlijk voor beide). In het laatste geval (blauwe grafiek) moet het verschil tussen de onderliggende waarde en de waarschuwing door de verkoper aan de koper worden betaald. Het risico van de verkoper loopt over de duur van een heel jaar. Zo kan de onderliggende aandelenkoers zeer hoog stijgen (zeg bijvoorbeeld tot $ 200 over vier maanden) en is de verkoper verplicht om de koper het verschil van $ 45 te betalen.

Dus komt het erop neer dat:

de prijs van het onderliggende bedrag de uitoefenprijs zal overschrijden?

1. Zo ja, hoe hoog kan de onderliggende prijs zijn (aangezien dat de opbrengst voor de koper zal bepalen)?
2. Dit geeft het grote risico van de verkoper aan, wat leidt tot de vraag: waarom zou iemand zo'n telefoontje verkopen als ze niets krijgen voor het risico dat ze nemen?

Ons doel is om tot één prijs te komen die de verkoper aan de koper moet vragen, wat hem kan compenseren voor het algehele risico dat hij over een jaar neemt - zowel in de nulbetalingsregio (rood) als in de lineaire betaling regio (blauw). De prijs moet eerlijk en acceptabel zijn voor zowel koper als verkoper. Zo niet, dan zal degene die in het nadeel is wat betreft het betalen of ontvangen van oneerlijke prijzen, niet deelnemen aan de markt, waardoor het doel van de handelsonderneming wordt verspeeld. Het Black-Scholes-model wil deze eerlijke prijs bepalen door rekening te houden met constante prijsvariatie van de aandelen, de tijdswaarde van het geld, de uitoefenprijs van de optie en de tijd tot verstrijken van de optie.Vergelijkbaar met het BS-model, laten we zien hoe we dit kunnen benaderen om dit voor ons voorbeeld te evalueren met behulp van onze eigen methoden.

Hoe de intrinsieke waarde in Blue Region evalueren?

Er zijn een aantal methoden beschikbaar om de verwachte prijsbeweging in de toekomst tijdens een bepaald tijdsbestek te voorspellen:

In het recente verleden kunnen vergelijkbare prijsbewegingen van dezelfde duur worden geanalyseerd. De historische slotkoers van IBM geeft aan dat in de afgelopen een jaar (2 januari 2014, tot 31 december 2014) de prijs daalde naar $ 160. 44 van $ 185. 53, een daling van 13,5%. Kunnen we een -13 afsluiten. 5% prijsbeweging voor IBM?

• Een verdere gedetailleerde controle geeft aan dat het een jaarlijkse piek van $ 199 raakte. 21 (op 10 april 2014) en een jaarlijks minimum van $ 150. 5 (op 16 december 2014). Deze baseren op de startdag, 2 januari 2014, en de slotkoers van $ 185. 53, de procentuele verandering varieert van +7. 37% tot -18. 88%. Nu ziet het variatiebereik er veel breder uit vergeleken met de eerder berekende daling van 13,5%.
• Vergelijkbare analyses en observaties van historische gegevens kunnen worden uitgevoerd. Om onze prijsmodelontwikkeling voort te zetten, laten we deze eenvoudige methodologie aannemen om toekomstige prijsvariaties te meten.

Stel dat IBM elk jaar met 10% stijgt (op basis van de historische gegevens van de afgelopen 20 jaar). Basisstatistieken geven aan dat de kans dat de IBM-aandelenkoers verandert rond de 10% veel hoger zal zijn dan de kans dat de IBM-prijs met 20% of met 30% afneemt, ervan uitgaande dat historische patronen zich herhalen. Door vergelijkbare historische gegevenspunten met waarschijnlijkheidswaarden te verzamelen, kan een algemeen verwacht rendement op de aandelenkoers van IBM in een tijdsbestek van één jaar worden berekend als een gewogen gemiddelde van kansen en bijbehorende rendementen. Stel bijvoorbeeld dat historische prijsgegevens van IBM de volgende zetten aangeven:

(- 10%) vijfentwintig procent van de keren,

• + 10% vijfendertig procent van de keren,
• + 15% twintig procent van tijden,
• + 20% tien procent van de keren,
• + 25% vijf procent van de keren, en
• (- 15%) vijf procent van de keren.
• Vandaar dat het gewogen gemiddelde (of de verwachte waarde) komt tot:

(- 10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 15% * 5%) / 100% =
6. 5% i. e. gemiddeld zal de prijs van het IBM-aandeel naar verwachting +6 bedragen. 5% op één jaar tijd voor elke dollar. Als iemand de IBM-aandelen koopt met een horizon van een jaar en een koopprijs van $ 155, kan een nettorendement van 155 * 6 worden verwacht. 5% = $ 10. 075.
Dit is echter voor de voorraadretour. We moeten op zoek naar vergelijkbare verwachte rendementen voor de call-optie.

Op basis van nul uitbetaling van de call onder uitoefenprijs (bestaande $ 155 - ATM-oproep), zullen alle negatieve zetten nul uitbetalingen genereren, terwijl alle positieve bewegingen boven de uitoefenprijs gelijkwaardige uitbetaling zullen genereren. Het verwachte rendement voor de call-optie is dan:

(

-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 0 % * 5%) / 100% = 9. 75% i. e. voor elke $ 100 geïnvesteerd in het kopen van deze optie, kan men $ 9 verwachten. 75 (op basis van de bovenstaande aannames).

Dit blijft echter beperkt tot de reële waardebepaling van het intrinsieke bedrag van de optie en neemt niet correct het risico voor rekening van de optieverkoper voor de hoge schommelingen die zich in de tussentijd kunnen voordoen (in het geval van het bovengenoemde intrajaar hoge en lage prijzen).Welke prijs kan, naast de intrinsieke waarde, worden overeengekomen door de koper en de verkoper, zodat de verkoper redelijk wordt gecompenseerd voor het risico dat hij neemt over het tijdsbestek van een jaar?

Deze schommelingen kunnen sterk variëren en de verkoper heeft mogelijk zijn eigen interpretatie van hoeveel hij daarvoor gecompenseerd wil krijgen. Het Black-Scholes-model gaat uit van Europese type-opties, i. e. geen oefening vóór de vervaldatum. Het blijft dus onaangetast door tussentijdse prijsschommelingen en baseert zijn waardering op eind-tot-eind handelsdagen.

In de dagelijkse handel speelt deze volatiliteit een belangrijke rol bij het bepalen van optieprijzen. De blauwe uitbetalingsfunctie die we gewoonlijk zien, is eigenlijk de uitbetaling op de vervaldatum. Realistisch gezien is de optieprijs (roze grafiek) altijd hoger dan de uitbetaling (blauwe grafiek), wat de prijs aangeeft die de verkoper heeft genomen om zijn risicobereidheid te compenseren. Daarom wordt de optieprijs ook wel de optie "premium" genoemd, wat in wezen de risicopremie aangeeft.

Dit kan worden opgenomen in ons waarderingsmodel, afhankelijk van de verwachte volatiliteit van de aandelenkoers en de verwachte waarde.

Het Black-Scholes-model doet het efficiënt (uiteraard binnen zijn eigen aannames) als volgt:

Het BS-model veronderstelt lognormale verdeling van aandelenprijsbewegingen, hetgeen het gebruik van N (d1) en N (d2 rechtvaardigt ).

In het eerste deel geeft S de huidige prijs van de voorraad aan.

N (d1) geeft de kans op de huidige koersbeweging van aandelen aan.
Als deze optie geldt voor het geld dat de koper in staat stelt deze optie uit te oefenen, zal hij één aandeel van de onderliggende IBM-aandelen ontvangen. Als de handelaar het vandaag uitoefent, vertegenwoordigt de S * N (d1) de huidige verwachte waarde van de optie.

In het tweede deel geeft X de uitoefenprijs aan.

N (d2) geeft de waarschijnlijkheid weer dat de aandelenprijs hoger is dan de uitoefenprijs.

Dus X * N (d2) vertegenwoordigt de verwachte waarde van de aandelenkoers die
boven de uitoefenprijs blijft. Aangezien het Black-Scholes-model Europese stijlopties aanneemt waarbij oefening alleen aan het einde mogelijk is, moet de verwachte waarde die hierboven door X * N (d2) wordt weergegeven, worden verdisconteerd voor de tijdswaarde van geld. Vandaar dat het laatste deel wordt vermenigvuldigd met exponentiële term verhoogd tot de rentevoet over de periode.

Het netto verschil van de twee termen geeft de prijswaarde van de optie weer vanaf vandaag (waarbij de tweede term wordt verdisconteerd)

In ons kader kunnen dergelijke prijsbewegingen nauwkeuriger worden opgenomen via meerdere manieren:

Verdere verfijning van verwachte rendementsberekeningen door het bereik uit te breiden tot fijnere intervallen om prijsbewegingen in de loop van de dag / in het jaar op te nemen

• Opname van actuele marktgegevens, omdat het huidige dagactiviteit weergeeft (vergelijkbaar met impliciete volatiliteit)
• Verwachte rendementen bij het aflopen datum, die kan worden verdisconteerd naar de huidige dag voor realistische waarderingen en verder wordt teruggebracht tot de huidige waarde
• We zien dus dat er geen limiet is voor aannames, methodologieën en maatwerk die moeten worden geselecteerd voor kwantitatieve analyse.Afhankelijk van het te verhandelen activum of de investering die moet worden overwogen, kan aan een zelfontwikkeld model worden gewerkt. Het is belangrijk om op te merken dat de volatiliteit van prijsbewegingen van verschillende activaklassen sterk varieert - aandelen hebben een veranderlijkheidsschommeling, forex hebben volatiliteitstoornissen - en gebruikers moeten de toepasselijke volatiliteitspatronen opnemen in hun modellen. Aannames en nadelen zijn een integraal onderdeel van elk model en een goed geïnformeerde toepassing van modellen in real-world handelsscenario's kan betere resultaten opleveren. (voor gerelateerd lezen, refereer je naar

Een eenvoudig overzicht van kwantitatieve analyse ) De onderste regel

Met complexe activa die de markten betreden of zelfs gewone vanilla-activa die in complexe vormen van handel komen, kwantitatieve modellering en analyse wordt verplicht voor waardering. Helaas komt geen enkel wiskundig model zonder een aantal nadelen en aannames. De beste aanpak is om de aannames tot een minimum te beperken en zich bewust te zijn van de impliciete nadelen, die kunnen helpen bij het trekken van de lijnen over het gebruik en de toepasbaarheid van de modellen.