Wiskundige of kwantitatieve modelgebaseerde handel blijft aan kracht winnen, ondanks grote mislukkingen zoals de financiële crisis van 2008-09, die werd toegeschreven aan het gebrekkige gebruik van handelsmodellen. Complexe handelsinstrumenten zoals derivaten blijven aan populariteit winnen, evenals de onderliggende wiskundige modellen van waardering. Hoewel geen enkel model perfect is, kan het zich bewust zijn van beperkingen helpen bij het nemen van weloverwogen handelsbeslissingen, waarbij gevallen van uitschieters worden afgewezen en dure fouten worden vermeden die kunnen leiden tot enorme verliezen. (Zie Bouw een winstgevend handelsmodel in 7 eenvoudige stappen voor gerelateerde informatie.)

We bespreken de beperkingen van het Black Scholes (BS) -model, dat een van de populairste modellen is voor prijsbepaling van opties. Enkele van de standaardbeperkingen van het BS-model zijn:

• Gaat uit van constante waarden voor risicovrij rendement en volatiliteit over de duur van de optie - geen van deze kan constant blijven in de echte wereld
• Gaat uit van continue en kostenloze handel - negeren liquiditeitsrisico en makelaarskosten
• Veronderstelt dat aandelenprijzen het lognormale patroon volgen, i. e. random walk (of geometrisch Browniaans bewegingspatroon) - negeren van grote koersschommelingen die vaker worden waargenomen in de echte wereld
• Gaat uit van dividenduitbetaling - negeert de impact op de waarderingsverandering
• Gaat uit van vroege oefening (ie past alleen Europese opties) - het model is ongeschikt voor Amerikaanse opties
• Andere veronderstellingen, die operationele problemen zijn, zijn onder meer het aannemen van geen boeteverplichtingen / margevereisten voor shortverkopen, geen arbitrage-opportuniteiten en geen belastingen - in werkelijkheid kloppen al deze niet; er is extra kapitaal nodig of het realistisch winstpotentieel is afgenomen

Gevolgen van BS-modelbeperkingen

In deze paragraaf wordt beschreven hoe de bovengenoemde beperkingen van invloed zijn op de dagelijkse handel en of er preventieve of herstelmaatregelen kunnen worden genomen. De grootste beperking van het Black-Scholes-model is onder meer dat het een berekende prijs van een optie biedt, maar afhankelijk blijft van de onderliggende factoren waarvan

• wordt aangenomen bekend
• verondersteld > blijf constant gedurende de levensduur van de optie

Helaas is geen van bovenstaande in de echte wereld waar. Onderliggende aandelenkoers, volatiliteit, risicovrije rente en dividend zijn onbekend en kunnen van korte duur veranderen met grote verschillen. Dit leidt tot hoge schommelingen in optieprijzen. Het biedt aanzienlijke winstmogelijkheden voor ervaren optiehandelaren (of voor degenen met geluk aan hun kant). Maar het gaat ten koste van de tegenhangers - vooral nieuwkomers of onwetende speculanten of gokkers - die zich vaak niet bewust zijn van de beperkingen en aan het ontvangende einde zijn.

Het hoeft niet alleen veranderingen van grote omvang te zijn; de frequentie van dergelijke veranderingen kan ook tot problemen leiden. Grote prijsveranderingen worden vaker waargenomen in de echte wereld dan die worden verwacht en geïmpliceerd door het BS-model. Deze hogere volatiliteit in de onderliggende aandelenkoers resulteert in aanzienlijke schommelingen in de optiewaarderingen. Het leidt vaak tot rampzalige resultaten, vooral voor verkopers van korte opties die mogelijk gedwongen worden om posities te sluiten bij grote verliezen vanwege het ontbreken van margin geld, of die de Amerikaanse opties toegewezen krijgen als ze worden uitgeoefend door de koper. Om grote verliezen te voorkomen, moeten handelaren in optie de veranderende volatiliteit constant in de gaten houden en blijven voorbereid met vooraf vastgestelde stop-loss-niveaus. Modelgebaseerde waardering moet worden aangevuld met realistische en vooraf vastgestelde stop-loss-niveaus. Intermitterende herstelalternatieven omvatten ook voorbereid zijn op middelingstechnieken (dollarkosten en waarde), volgens de situatie en strategieën. (Zie

Het Black-Scholes-optiewaarderingsmodel voor gerelateerde informatie.) Aandelenkoersen tonen nooit lognormale returns, zoals verondersteld door Black-Scholes. Real world distributies zijn scheef. Deze discrepantie leidt ertoe dat het Black-Scholes-model een te lage prijs of een te hoge prijs een optie biedt. Handelaren die niet bekend zijn met dergelijke implicaties, kunnen uiteindelijk te duur of te kort geprijsde opties kopen, waardoor ze zichzelf blootstellen aan verlies als ze blindelings het BS-model volgen. Als preventieve maatregel moeten handelaren veranderingen in de volatiliteit en marktontwikkelingen in de gaten houden - proberen te kopen wanneer de volatiliteit lager ligt (bijvoorbeeld zoals waargenomen tijdens de afgelopen periode van de beoogde periode van de optieperiode) en verkopen wanneer het in de hoog bereik om maximale optiepremie te krijgen.

Bijkomende implicatie van de geometrische Brownse beweging is dat de volatiliteit constant moet blijven tijdens de duur van de optie. (Raadpleeg

Monte Carlo-simulatie met GBM voor gerelateerde informatie.) Het impliceert ook dat keuzevrijheid geen invloed mag hebben op impliciete volatiliteit, i. e. ITM-, ATM- en OTM-opties moeten hetzelfde volatiliteitsgedrag vertonen. Maar in werkelijkheid wordt de curve van de schommelingen van de volatiliteit waargenomen (in plaats van de glimlachcurve met de vluchtigheid), waarbij een hogere impliciete volatiliteit wordt waargenomen voor lagere uitoefenprijzen. Black-Scholes overprices ATM-opties en underprices diepe ITM en diepe OTM-opties. Dat is de reden waarom de meeste handel (en dus de hoogste open rente) wordt waargenomen voor ATM-opties, in plaats van voor ITM en OTM. Short sellers krijgen maximale tijdvervalwaarde voor ATM-opties (leidend tot de hoogste optiepremie), vergeleken met die voor ITM- en OTM-opties, die ze proberen te kapitaliseren. Handelaren moeten voorzichtig zijn en vermijden dat ze OTM- en ITM-opties kopen met hoge vervalwaarden (onderdeel van optie premium = intrinsieke waarde + tijdvervalwaarde). Evenzo verkopen geschoolde handelaren ATM-opties om hogere premies te krijgen wanneer de volatiliteit hoog is, koper moet zoeken naar aankoopopties wanneer de volatiliteit laag is, wat leidt tot lage premies die moeten worden betaald. Kort gezegd worden prijsbewegingen verondersteld met absolute toepasbaarheid en is er geen relatie of afhankelijkheid van andere marktontwikkelingen of segmenten.Zo kan de impact van de marktcrash in 2008-09, toegeschreven aan het mislukken van de woningbubbel, leidend tot een algemene instorting van de markt, niet worden verantwoord in het BS-model (en kan dit mogelijk niet worden verantwoord in een wiskundig model). Maar het leidde wel naar extreem lage extreme gebeurtenissen met hoge dalingen van de aandelenkoersen, wat enorme verliezen veroorzaakte voor handelaren in opties. De forex- en rentemarkten volgden het verwachte prijspatroon tijdens die crisisperiode maar konden niet afgeschermd blijven van de impact overal.

Het BS-model houdt geen rekening met wijzigingen als gevolg van dividend betaald op aandelen. Ervan uitgaande dat alle andere factoren hetzelfde blijven, zal een aandeel met een prijs van $ 100 en een dividend van $ 5 dalen tot $ 95 op ex-date dividend. Optie-verkopers benutten dergelijke kansen tot short call-opties / long put-opties vlak voor de ex-datum en zetten de posities op de ex-date af, resulterend in winst. Handelaren die Black-Scholes prijzen volgen, moeten zich bewust zijn van dergelijke implicaties en alternatieve modellen gebruiken, zoals Binomial-prijzen die veranderingen in de uitbetaling als gevolg van dividendbetaling kunnen verklaren. Anders zou het BS-model alleen moeten worden gebruikt voor de handel in Europese niet-dividendbetalende aandelen.

Het BS-model houdt geen rekening met de vroege uitoefening van Amerikaanse opties. In werkelijkheid komen maar weinig opties (zoals long put-posities) in aanmerking voor vroege oefeningen, op basis van marktomstandigheden. Handelaren moeten Black-Scholes voor Amerikaanse opties vermijden of naar alternatieven zoals het prijsmodel van Binomial kijken. (Voor gerelateerde informatie, raadpleeg

Hoe waardeermodellen te bouwen zoals Black-Scholes (BS)? ). Waarom worden Black-scholes zo vaak gevolgd?

Past zeer goed voor de zeer populaire delta hedging-strategie voor Europese opties voor niet-dividendbetalende aandelen

• Het is eenvoudig en biedt een kant-en-klare waarde
• Over het algemeen wanneer de gehele (of een meerderheid van de) markt volgt de prijzen hebben de neiging om te worden gekalibreerd naar degene die zijn berekend op basis van Black-Scholes
• The Bottom Line

Blindelings volgt elk wiskundig of kwantitatief handelsmodel tot een ongecontroleerde risicoblootstelling. Financiële mislukkingen van 2008-09 worden toegeschreven aan het gebrekkige gebruik van handelsmodellen. Ondanks de uitdagingen, is het gebruik van het model hier om te blijven dankzij de constant evoluerende markten, met een verscheidenheid aan instrumenten en de intrede van nieuwe deelnemers. Modellen zullen de belangrijkste basis blijven voor trading, met name voor complexe instrumenten zoals derivaten. Een voorzichtige aanpak met duidelijke inzichten over de beperkingen van een model, de gevolgen ervan, beschikbare alternatieven en herstelmaatregelen kunnen leiden tot veilige en winstgevende handel.