Zelfs als u de binomiale verdeling niet bij naam kent, en nooit een geavanceerde collegestatistiekcursus hebt gevolgd, begrijpt u dit van nature. Echt waar, jij wel. Het is een manier om de waarschijnlijkheid te beoordelen van een discrete gebeurtenis die plaatsvindt of niet gebeurt. En het heeft veel toepassingen in financiën. Hier is hoe het werkt:

Je begint met iets proberen - coin flips, vrije worpen, roulette wiel spins, wat dan ook. De enige kwalificatie is dat het iets in kwestie precies twee mogelijke uitkomsten moet hebben. Succes of falen, dat is het. (Ja, een roulettewiel heeft 38 mogelijke uitkomsten, maar vanuit het standpunt van een gokker zijn het er maar twee: je gaat winnen of verliezen.)

We gebruiken vrije worpen voor ons voorbeeld, omdat ze iets interessanter zijn dan de exacte en onveranderlijke 50% kans op een landingshoofden. Stel je bent Dirk Nowitzki van de Dallas Mavericks, die 89 sloeg. 9% van zijn vrije worpen vorig jaar. We zullen het 90% noemen voor onze doeleinden. Als je hem nu aan de lijn zou brengen, wat is dan de kans dat hij (op z'n minst) 9 van de 10 raakt?

Nee, ze zijn niet 100%. Noch zijn ze 90%.

Ze zijn 74%, geloof het of niet. Dit is de formule. We zijn hier allemaal volwassenen, je hoeft niet bang te zijn voor exponenten en Griekse letters:

n

is het aantal pogingen. In dit geval is 10. i

het aantal successen, dat is 9 of 10. We berekenen de kans voor elk en voegen ze vervolgens toe. p

is de kans op succes van elke afzonderlijke gebeurtenis, namelijk. 9.

De kans om het doel te bereiken, i. e. de binomiale verdeling van successen en mislukkingen, is dit:

Remediale wiskundige notatie, als je de termen in die uitdrukking verder wilt laten uitsplitsen:

Dat is de "binomiale" in binomiale verdeling: i. e. , twee termen. We zijn niet alleen geïnteresseerd in het aantal successen, niet alleen in het aantal pogingen, maar in beide. Elk is nutteloos voor ons zonder de ander.

Meer corrigerende wiskundige notatie:! is faculteit: vermenigvuldiging van een positief geheel getal met elk kleiner positief geheel getal. Bijvoorbeeld:

Sluit de nummers in, denk eraan dat we voor zowel 9 van de 10 vrije worpen als 10 van de 10 moeten oplossen, en we krijgen

= 0. 387420489 (wat de kans is om negen te raken) + 0. 3486784401 (de kans om alle tien te raken)

= 0. 736098929

Dit is de

cumulatieve verdeling, in tegenstelling tot de kans verdeling. De cumulatieve verdeling is de som van meerdere kansverdelingen (in ons geval zou dat twee zijn.) De cumulatieve verdeling berekent de kans om een ​​bereik van waarden te raken - hier, 9 of 10 van de 10 vrije worpen - in plaats van een enkele waarde. Wanneer we ons afvragen hoe groot de kans is dat Nowitzki 9 van de 10 raakt, betekent dit dat we "9 of beter van de 10" bedoelen, niet "precies 9 van de 10"." Als u de binomiale distributiefunctie voor een bepaalde reeks gebeurtenissen wilt berekenen, hoeft u deze niet zelf te berekenen. De behulpzame mensen van Stat Trek hebben een binomiale calculator die het werk voor je doet. Het enige dat u hoeft te doen, is de waarden

n , i en p opgeven. Wat heeft dit te maken met financiën? Meer dan je zou denken. Laten we zeggen dat u een bank bent, een geldschieter, die weet dat binnen drie decimalen de kans bestaat dat een bepaalde lener in gebreke blijft. Hoe groot is de kans dat zoveel leners in gebreke blijven dat ze de bank insolvent maken? Zodra u de cumulatieve binomiale verdelingsfunctie gebruikt om dat aantal te berekenen, hebt u een beter idee van hoe u een verzekering moet afsluiten en uiteindelijk hoeveel geld u kunt lenen en hoeveel u in reserve houdt.

Ooit afgevraagd hoe de initiële prijzen van opties worden bepaald? Hetzelfde, soort van. Als een volatiel onderliggende voorraad een

p kans heeft om een ​​bepaalde prijs te raken, kunt u kijken hoe de voorraad over een reeks n periodes beweegt om te bepalen welke prijs de opties zouden moeten verkopen op. (Klaar voor meer geavanceerde handelstechnieken? Bekijk Investopedia's artikel over strategieën voor het gebruik van technische indicatoren.) Het toepassen van de binomiale distributiefunctie om te financieren geeft enkele verrassende, zo niet volledig contra-intuïtieve resultaten; net zoals de kans dat een 90% vrije worp schiet, waarbij 90% van zijn vrije worpen iets minder dan 90% raakt. Stel dat u een beveiliging heeft die evenveel kans op een winst van 20% heeft als een verlies van 20%. Als de prijs van het effect met 20% zou dalen, hoe groot is de kans dat deze prijs terugkeert naar zijn oorspronkelijke niveau? Vergeet niet dat een eenvoudige overeenkomstige winst van 20% het niet zal verminderen: een aandeel dat 20% daalt en vervolgens 20% krijgt, zal nog steeds 4% lager liggen. Houd afwisselend 20% valt en winsten, en uiteindelijk zal de voorraad waardeloos zijn.

The Bottom Line

Analisten met een goed begrip van de binomiale verdeling hebben een extra kwaliteitsreeks hulpmiddelen bij de hand bij het bepalen van prijzen, het inschatten van risico's en het voorkomen van onaangename resultaten die kunnen voortvloeien uit onvoldoende voorbereiding. Wanneer je de binomiale verdeling en de vaak verrassende resultaten begrijpt, ben je de massa ruim voor.