Op een bepaald punt in je leven had je misschien een aantal vaste betalingen over een bepaalde periode moeten doen - zoals huur- of auto-betalingen - of een reeks betalingen ontvangen over een periode tijd, zoals obligatiebonnen. Dit worden lijfrentes genoemd. Als u de tijdswaarde van geld begrijpt, bent u klaar om te leren over annuïteiten en hoe hun huidige en toekomstige waarden worden berekend.

Wat zijn lijfrentes?

Lijfrenten zijn in essentie een reeks van vaste betalingen die van u worden verlangd of aan u worden betaald, op een specifieke frequentie in de loop van een vaste tijdsperiode. De meest gebruikelijke betalingsfrequenties zijn jaarlijks, halfjaarlijks (tweemaal per jaar), driemaandelijks en maandelijks. Er zijn twee basistypen van annuïteiten: gewone annuïteiten en annuïteiten verschuldigd.

• Gewone lijfrente: betalingen zijn vereist aan het einde van elke periode. Rechte obligaties betalen bijvoorbeeld gewoonlijk couponbetalingen aan het einde van elke zes maanden tot de vervaldatum van de obligatie.
• Te betalen annuïteit: betalingen zijn vereist aan het begin van elke periode. Huur is een voorbeeld van verschuldigde lijfrente. U bent meestal verplicht om huur te betalen wanneer u voor het eerst verhuist aan het begin van de maand en vervolgens op de eerste van elke volgende maand.

Aangezien de huidige en toekomstige waardeberekeningen voor gewone annuïteiten - en annuïteiten die verschuldigd zijn enigszins afwijken - zullen we eerst de huidige en toekomstige waardeberekening voor gewone lijfrentes bespreken.

De toekomstige waarde van een gewone annuïteit berekenen

Als u weet hoeveel u per periode voor een bepaalde periode kunt investeren, is de toekomstige waarde (FV) van een gewone annuïteitformule handig om erachter te komen hoeveel u zou hebben in de toekomst door te beleggen tegen de door u bepaalde rentevoet. Als u betalingen verricht op een lening, is de toekomstige waarde nuttig bij het bepalen van de totale kosten van de lening.

Laten we nu Voorbeeld 1 doornemen. Overweeg het volgende annuïteitscashflowschema:

Om de toekomstige waarde van de annuïteit te berekenen, moeten we de toekomstige waarde van elke cashflow berekenen. Laten we aannemen dat u de komende vijf jaar elk jaar $ 1, 000 ontvangt, en u hebt elke betaling geïnvesteerd op 5%. In het volgende diagram ziet u hoeveel u aan het einde van de periode van vijf jaar zou hebben:

Aangezien we de toekomstige waarde van elke betaling moeten toevoegen, is het u misschien opgevallen dat als u een gewone lijfrente met veel kasstromen hebt, het zou lang duren om alle toekomstige waarden te berekenen en ze vervolgens samen toe te voegen. Gelukkig biedt wiskunde een formule die dient als een snelkoppeling voor het vinden van de geaccumuleerde waarde van alle kasstromen ontvangen van een gewone annuïteit:

waarbij C = Cashflow per periode i = rentepercentage n = aantal betalingen

Met behulp van de bovenstaande formule voor Voorbeeld 1 hierboven, is dit het resultaat:

= $ 1000 * [5.53] = $ 5525. 63

Let op: het verschil van 1 cent tussen $ 5, 525. 64 en $ 5, 525. 63 is te wijten aan een afrondingsfout in de eerste berekening. Elke waarde van de eerste berekening moet worden afgerond op de dichtstbijzijnde cent - hoe meer u getallen moet ronden in een berekening, des te waarschijnlijker zullen afrondingsfouten optreden. De bovenstaande formule biedt dus niet alleen een kortere weg naar het vinden van de FV van een gewone annuïteit, maar geeft ook een nauwkeuriger resultaat.

De huidige waarde van een gewone annuïteit berekenen

Als u de huidige waarde van een toekomstige betalingsreeks wilt bepalen, moet u de formule gebruiken die de huidige waarde (PV) van een gewone annuïteit berekent. Dit is de formule die u zou gebruiken als onderdeel van een berekening van de prijsberekening van obligaties. De PV van een gewone annuïteit berekent de contante waarde van de couponbetalingen die u in de toekomst zult ontvangen.

Voor Voorbeeld 2 gebruiken we hetzelfde cashflowschema voor annuïteiten als in Voorbeeld 1. Om de totale contante waarde te verkrijgen, moeten we de huidige waarde van elke toekomstige betaling nemen en, zoals we deden in Voorbeeld 1, , voeg de kasstromen samen toe.

Nogmaals, het berekenen en toevoegen van al deze waarden kost veel tijd, vooral als we veel toekomstige betalingen verwachten. Als zodanig kunnen we een wiskundige snelkoppeling gebruiken voor PV van een gewone annuïteit.

waarbij C = Cashflow per periode i = rentepercentage n = aantal betalingen

De formule biedt ons de PV in enkele eenvoudige stappen. Hier is de berekening van de annuïteit voorgesteld in het diagram voor Voorbeeld 2:

= $ 1000 * [4. 33] = $ 4329. 48

De toekomstige waarde van een verschuldigde annuïteit berekenen

Wanneer u kasstromen ontvangt of betaalt voor een verschuldigde annuïteit, ziet uw cashflowschema er als volgt uit:

sinds elke betaling in de serie wordt één keer eerder gemaakt, we moeten de formule één periode terugschatten. Een kleine wijziging in de FV-van-een-lijfrente-formule houdt rekening met betalingen die aan het begin van elke periode plaatsvinden. Laten we in voorbeeld 3 illustreren waarom deze wijziging nodig is wanneer elke betaling van $ 1, 000 wordt gedaan aan het begin van de periode in plaats van aan het einde (rente is nog steeds 5%):

merk op dat wanneer betalingen worden gedaan aan de begin van de periode, wordt elk bedrag aan het einde van de periode langer vastgehouden. Als de $ 1,000 bijvoorbeeld op 1 januari in plaats van op 31 december van elk jaar was belegd, zou de laatste betaling voordat we onze investering aan het einde van vijf jaar (op 31 december) waarderen, een jaar eerder zijn geweest (1 januari) in plaats van dezelfde dag waarop het wordt gewaardeerd. De toekomstige waarde van de lijfrenteformule luidt dan:

waarbij C = Cashflow per periode i = rentepercentage n = aantal betalingen

Daarom

= $ 1000 * 5. 53 * 1. 05 = $ 5801. 91

Berekening van de contante waarde van een lijfrente op vervaldatum

Voor de contante waarde van een annuïteitsverplichtingformule, moeten we de formule één periode vervroegen omdat de betalingen gedurende een kortere tijd worden aangehouden. Bij het berekenen van de huidige waarde gaan we ervan uit dat de eerste betaling vandaag is gedaan.

We kunnen deze formule gebruiken voor het berekenen van de contante waarde van uw toekomstige huurbetalingen zoals vermeld in een leaseovereenkomst die u met uw verhuurder tekent. Laten we voor Voorbeeld 4 zeggen dat u uw eerste huurbetaling aan het begin van de maand doet en de huidige waarde van uw lease voor vijf maanden op diezelfde dag evalueert. Uw huidige waardeberekening werkt als volgt:

We kunnen natuurlijk een kortere formule gebruiken om de huidige waarde van een verschuldigde annuïteit te berekenen:

waarbij C = Cashflow per periode i = rentepercentage > n = aantal betalingen Daarom

= $ 1000 * 4. 33 * 1. 05

= $ 4545. 95 Bedenk dat de contante waarde van een gewone annuïteit een waarde van $ 4, 329 opleverde. 48. De contante waarde van een gewone annuïteit is lager dan die van een annuïteit omdat onze achtergestelde korting een toekomstige betaling zijn huidige waarde - elke betaling of cashflow in een gewone annuïteit gebeurt één periode verder in de toekomst.

De onderste regel

Nu kunt u zien hoe annuïteiten van invloed zijn op hoe u de huidige en toekomstige waarde van een hoeveelheid geld berekent. Houd er rekening mee dat de betalingsfrequenties, of het aantal betalingen, en het tijdstip waarop deze betalingen worden gedaan (aan het begin of het einde van elke betalingsperiode) alle variabelen zijn die u in uw berekeningen moet opnemen.