De wiskunde achter financiën kan een beetje verwarrend en vervelend zijn, maar gelukkig doen de meeste computerprogramma's de harde berekeningen. Hoewel het berekenen van elke stap in een gecompliceerde vergelijking waarschijnlijk meer is dan de meeste investeerders doen, is het begrijpen van de verschillende statistische termen, hun betekenis en die het meest zinvol zijn bij het analyseren van investeringen cruciaal voor het kiezen van de juiste beveiliging en het verkrijgen van de gewenste impact op een portefeuille. Een voorbeeld hiervan is kiezen tussen normale vs. lognormale distributies. Deze uitkeringen worden vaak genoemd in onderzoeksliteratuur, maar de belangrijkste vragen zijn: wat betekenen ze, wat zijn de verschillen tussen de twee, en hoe beïnvloeden ze investeringsbeslissingen? (Zie voor meer informatie: Vind de juiste fit met waarschijnlijkheidsdistributie .)

AD:

Normaal versus lognormaal

Zowel normale als lognormale verdelingen worden gebruikt in statistische wiskunde om de waarschijnlijkheid van het optreden van een gebeurtenis te beschrijven. Het omdraaien van een munt is een gemakkelijk te begrijpen voorbeeld van waarschijnlijkheid. Als u een munt 1000 keer omdraait, wat is de verdeling van de resultaten? Dat wil zeggen, hoe vaak zal het op hoofden of staarten landen? (Antwoord: de helft van de tijd koppen, de andere halve staarten.) Dit is een zeer vereenvoudigd voorbeeld om waarschijnlijkheid en de verdeling van resultaten te beschrijven. Er zijn veel soorten verdelingen, waarvan er één de normale of belkromme verdeling is. (Zie figuur 1)

AD:

Bij een normale verdeling valt 68% (34% + 34%) van de resultaten binnen een standaardafwijking en valt 95% (68% + 13,5% + 13,5%) onder 2 standaard afwijkingen. In het midden (het 0-punt in de afbeelding hierboven) zijn de mediaan of de middelste waarde in de set, de modus, de meest voorkomende waarde en het gemiddelde, het rekenkundig gemiddelde, allemaal hetzelfde.

AD:

De lognormale verdeling verschilt op verschillende manieren van de normale verdeling. Een groot verschil zit in de vorm: waar de normale verdeling symmetrisch is, is een lognormale verdeling dat niet. Omdat de waarden in een lognormale verdeling positief zijn, maken ze een rechtse kromme. (Zie Afb. 2)

Deze afwijking is belangrijk om te bepalen welke verdeling geschikt is om te gebruiken bij het nemen van beslissingen over investeringen. Een verder onderscheid is een onderliggende aanname dat de waarden die worden gebruikt om een ​​lognormale verdeling af te leiden normaal verdeeld zijn. Laat me verduidelijken met een voorbeeld. Een belegger wil een verwachte toekomstige aandelenkoers weten. Aangezien aandelen tegen een gecompliceerd tarief groeien, moet ze een groeifactor gebruiken. Om mogelijke verwachte prijzen te berekenen, zal zij de huidige aandelenprijs nemen en deze vermenigvuldigen met verschillende rendementspercentages (die wiskundig zijn afgeleid exponentiële factoren op basis van de samenstelling) en waarvan wordt verondersteld dat ze normaal verdeeld zijn.Wanneer de belegger het rendement voortdurend compenseert, creëert ze een lognormale verdeling die altijd positief is, zelfs als sommige van de rendementspercentages negatief zijn, wat 50% van de tijd in een normale verdeling zal gebeuren. De toekomstige aandelenkoers zal altijd positief zijn omdat de aandelenkoersen niet onder de $ 0 kunnen dalen!

Wanneer gebruiken Normaal versus Lognormale verdeling

De voorgaande beschrijving, hoewel enigszins gecompliceerd, werd verstrekt om ons te helpen te komen tot wat echt belangrijk is voor beleggers: wanneer elke methode moet worden gebruikt bij het nemen van beslissingen. Lognormaal, zoals we hebben besproken, is uiterst nuttig bij het analyseren van de aandelenkoersen. Zolang de gebruikte groeifactor normaal verdeeld wordt verondersteld (zoals we aannemen met de snelheid van terugkeer), is de lognormale verdeling zinvol. Normale verdeling kan niet worden gebruikt om de aandelenkoersen te modelleren omdat deze een negatieve kant heeft en aandelenkoersen niet onder nul kunnen dalen.

Een ander vergelijkbaar gebruik van de lognomale distributie is de prijsbepaling van opties. Het Black-Scholes-model dat wordt gebruikt voor prijsopties maakt gebruik van de lognormale verdeling als basis om optieprijzen te bepalen. (Zie voor meer: ​​ Opties Prijsbepaling: Black-Scholes Model .)

Omgekeerd werkt de normale verdeling beter bij het berekenen van het totale portefeuillerendement. De reden dat normale verdeling wordt gebruikt, is omdat het gewogen gemiddelde rendement (het product van het gewicht van een effect in een portefeuille en het rendement) meer accuraat is in het beschrijven van het feitelijke portefeuillerendement (dat positief of negatief kan zijn), vooral als de gewichten variëren in grote mate. Het volgende is een typisch voorbeeld:

Portefeuilleposities Gewichten Resultaat Gewogen retour

Aandelen A 40% 12% 40% * 12% = 4. 8%

Aandelen B 60% 6% 60% * 6% = 3. 6%

Totaal gewogen gemiddeld rendement = 4. 8% + 3. 6% = 8. 4%

Lognormaal rendement gebruiken voor de totale prestaties van de portefeuille, ook al kan dit wellicht sneller worden berekend over een langere periode , zal niet de individuele voorraadgewichten vastleggen, en dat kan het rendement enorm verstoren. Ook kunnen portefeuillereturns positief of negatief zijn, en een lognormale verdeling kan de negatieve aspecten niet vastleggen.

Bottom Line

Hoewel de nuances die normale en lognormale distributies onderscheiden, ons meestal kunnen ontglippen, zal kennis van het uiterlijk en de kenmerken van elke distributie inzicht verschaffen in hoe modelportefeuilleretenties en toekomstige aandelenkoersen kunnen worden gemodelleerd.